תיכונים: נקודת מפגש, יחס 2 : 1 ושטחיםגאומטריה 571 · שיעור 12
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות
שיעור 12: תיכונים: נקודת מפגש, יחס 2 : 1 ושטחים
פרק 4 · קווים מיוחדים במשולש
1שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת
2יחס 2 : 1, והתיכון מחלק את השטח לשניים
34 תרגילים, כולל שטחים ותרגיל מורכב
הגדרה + משפט
התיכונים במשולש
AM תיכון: M אמצע BC
תיכון: מקדקוד לאמצע הצלע שמולו
BN תיכון: N אמצע AC
תיכון
CK תיכון: K אמצע AB
תיכון
📐 משפט: שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת G (מפגש התיכונים)
📐 משפט: G מחלקת כל תיכון ביחס 2 : 1 – החלק הקרוב לקדקוד גדול פי 2
AG = 2k , GM = k , AM = 3k
יחס 2 : 1
📐 הגדרה
תיכון: קטע מקדקוד לאמצע הצלע שמולו
📐 משפט
שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת, והיא מחלקת כל תיכון ביחס 2 : 1 (החלק הקרוב לקדקוד גדול פי 2)
AG : GM = 2 : 1
משפט + הוכחה
התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח
מורידים גובה AH ל־BC
קו עזר
S(ABM) = BM · AH : 2
שטח משולש: צלע כפול הגובה אליה, חלקי 2
S(AMC) = MC · AH : 2
שטח משולש: אותו גובה AH
BM = MC ← S(ABM) = S(AMC)
M אמצע BC: בסיסים שווים ואותו גובה
📐 משפט: התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח
📐 הגדרה
גובה: אנך מקדקוד לצלע שמולו
📐 נוסחה
שטח משולש
S = (צלע · הגובה אליה) : 2
📐 כלל
משולשים עם בסיסים שווים ואותו גובה – שטחים שווים. אותו גובה ← יחס השטחים = יחס הבסיסים
תרגיל 1 · יחס 2 : 1 · קל
AM תיכון במשולש ABC, ו־G מפגש התיכונים. נתון: AM = 12
מצאו את AG ואת GM
מצאו את AG ואת GM
AM = 12 , G מפגש התיכונים
נתון
AG : GM = 2 : 1
מפגש התיכונים מחלק כל תיכון ביחס 2 : 1
AG = 2k , GM = k
כותבים יחס בעזרת k
2k + k = 12
AG + GM = AM
3k = 12 ⟹ k = 4
כינוס ומחלקים ב־3
AG = 2 · 4 = 8
מציבים k = 4
GM = 4
מציבים k = 4
✅ פתרון סופי: AG = 8 , GM = 4
📐 משפט
שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת, והיא מחלקת כל תיכון ביחס 2 : 1 (החלק הקרוב לקדקוד גדול פי 2)
AG : GM = 2 : 1
📐 כלל
יחס: אם a : b = 2 : 3 כותבים a = 2k , b = 3k
📐 כלל
אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים
AB = AM + MB
📐 כלל
כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
תרגיל 2 · מהחלק לתיכון כולו · קל
BN תיכון במשולש ABC, ו־G מפגש התיכונים. נתון: BG = 10
מצאו את GN ואת אורך התיכון BN
מצאו את GN ואת אורך התיכון BN
BG = 10
נתון
BG : GN = 2 : 1
מפגש התיכונים מחלק כל תיכון ביחס 2 : 1
GN = BG : 2 = 10 : 2 = 5
BG גדול פי 2 מ־GN
BN = BG + GN = 10 + 5 = 15
G על הקטע BN
✅ פתרון סופי: GN = 5 , BN = 15
📐 משפט
שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת, והיא מחלקת כל תיכון ביחס 2 : 1 (החלק הקרוב לקדקוד גדול פי 2)
AG : GM = 2 : 1
📐 כלל
אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים
AB = AM + MB
תרגיל 3 · שטחים · בינוני
AM תיכון במשולש ABC ו־G מפגש התיכונים. שטח המשולש ABC הוא 48
מצאו את שטח המשולש ABM ואת שטח המשולש BGM
מצאו את שטח המשולש ABM ואת שטח המשולש BGM
S(ABC) = 48 , AM תיכון
נתון
S(ABM) = S(AMC) = 48 : 2 = 24
התיכון מחלק לשני משולשים שווי שטח
GM = AM : 3
מפגש התיכונים: AG : GM = 2 : 1
למשולשים BGM ו־BAM אותו גובה מ־B לישר AM
הבסיסים על אותו ישר
S(BGM) = S(ABM) : 3 = 24 : 3 = 8
אותו גובה ← יחס השטחים = יחס הבסיסים GM : AM = 1 : 3
✅ פתרון סופי: S(ABM) = 24 , S(BGM) = 8
📐 משפט
התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח
📐 משפט
שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת, והיא מחלקת כל תיכון ביחס 2 : 1 (החלק הקרוב לקדקוד גדול פי 2)
AG : GM = 2 : 1
📐 כלל
משולשים עם בסיסים שווים ואותו גובה – שטחים שווים. אותו גובה ← יחס השטחים = יחס הבסיסים
תרגיל 4 · מורכב: תיכונים שווים
AM ו־BN תיכונים במשולש ABC, נחתכים בנקודה G. נתון: AM = BN
הוכיחו: AC = BC
הוכיחו: AC = BC
AM = BN , G מפגש התיכונים
נתון
AG = AM · 2 : 3 , BG = BN · 2 : 3 ← AG = BG
יחס 2 : 1 ושני התיכונים שווים
GN = BN : 3 , GM = AM : 3 ← GN = GM
יחס 2 : 1
∢AGN = ∢BGM
זוויות קדקודיות
△AGN ≅ △BGM
צ.ז.צ
AN = BM
במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
AC = 2 · AN , BC = 2 · BM
N ו־M אמצעי הצלעות
AC = BC
כפל של קטעים שווים
✅ פתרון סופי: הוכחנו: AC = BC (המשולש שווה שוקיים)
📐 משפט
שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת, והיא מחלקת כל תיכון ביחס 2 : 1 (החלק הקרוב לקדקוד גדול פי 2)
AG : GM = 2 : 1
📐 משפט
זוויות קדקודיות שוות זו לזו
∢1 = ∢3
📐 משפט חפיפה
צ.ז.צ: שתי צלעות והזווית שביניהן
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 הגדרה
תיכון: קטע מקדקוד לאמצע הצלע שמולו
📌 מה למדנו היום
📐 משפט
שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת, והיא מחלקת כל תיכון ביחס 2 : 1 (החלק הקרוב לקדקוד גדול פי 2)
AG : GM = 2 : 1
📐 משפט
התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח
📐 כלל
משולשים עם בסיסים שווים ואותו גובה – שטחים שווים. אותו גובה ← יחס השטחים = יחס הבסיסים
💡 בתיכון עם מפגש התיכונים: מחלקים את התיכון ל־3 חלקים – 2 ליד הקדקוד ו־1 ליד הצלע.
בשיעור הבא: גבהים, אנך אמצעי וחוצה זווית
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא